Трапеция – это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. В трапеции можно выделить две пары боковых сторон: одну пару прямых сторон, которые называются основаниями, и другую пару непараллельных сторон. Интересующий нас отрезок соединяет середины боковых сторон трапеции.
Чтобы доказать, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, существует и две такие трапеции имеют равные площади, мы воспользуемся свойствами параллелограмма.
Свойство параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.
Доказательство:
Рассмотрим произвольную трапецию ABCD с основаниями AB и CD. Проведем отрезок EF соединяющий середины боковых сторон BC и AD. Для простоты обозначим середины сторон BC и AD, как G и H соответственно.
По свойству параллелограмма знаем, что BG = CG и AH = DH. Предположим, что прямые GH и EF не пересекаются в точке I. Тогда отрезок GH будет параллелен EF.
Возьмем точку P, центр параллелограмма BGCH. Рассмотрим треугольники GCF и DHA. По свойству центра параллелограмма найдем, что GH = 2PF и EF = 2PF. Также из свойства параллелограмма следует, что GH = CF и EF = CF. Из этого следует, что EF = GH.
Данное доказательство показало, что в каждой трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон, существует и равен одному и тому же сегменту. Более того, площадь двух таких трапеций будет равной.
Доказательство теоремы о отрезке, соединяющем середины сторон трапеции
Теорема: Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям и равен половине суммы оснований.
Доказательство:
- Пусть ABCD — трапеция с основаниями AB и CD.
- Пусть M и N — середины боковых сторон BC и AD соответственно.
- Проведем отрезки AM и BN.
- Так как AM и BN являются медианами треугольников, то они делятся пополам контективными сторонами.
- Поэтому AM = MC и BN = ND.
- Также, по определению медианы, AM